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La thermodynamique : Principes et Applications

Ceci est la continuité naturelle de mon billet précédent intitulé La thermodynamique : Les Bases. Je vais vous présenter ici les 4 grands principes universels qui sont posés par la thermodynamique et qui ont permis la compréhension, la construction et l’amélioration des machines thermodynamiques comme la machine à vapeur, le moteur à essence, la pompe à chaleur ou le climatiseur.



Principe zéro

On l’appelle principe zéro car c’est ce principe qui permet l’étude de la thermodynamique en utilisant la variable température. Il peut être exprimé ainsi :

« La température est une grandeur physique repérable permettant de caractériser l’état d’un système »

Autrement dit : « On peut fabriquer un thermomètre ». Un corps est dit en équilibre thermique si sa température n’évolue pas dans le temps. Si 2 corps isolés sont en contact alors ils évoluent vers un équilibre thermique où ils auront la même température.

Premier principe

Le premier principe correspond à la conservation de l’énergie peut être formulé ainsi :« Lors d’une transformation dans un système fermé, la variation d’énergie interne du système est égale à la quantité d’énergie échangée avec le milieu extérieur sous forme de chaleur et de travail »

On peut alors écrire mathématiquement que :


dU représente la variation d énergie interne du système, dQ est une petite quantité de chaleur apportée au système et dW est une petite quantité de travail reçue par le système.

On peut résumer ce principe par la fameuse maxime : « Rien ne se perd, rien ne se créé, tout se transforme » attribué à tord à Antoine Lavoisier puisque le philosophe présocratique Anaxagore de Clazomènes a écrit au 5ième siècle avant JC que : «  Rien ne naît ni ne périt, mais des choses déjà existantes se combinent, puis se séparent de nouveau ». On voit que la notion de conservation de l’énergie est très ancienne mais le premier principe de la thermodynamique précise que l’énergie interne d’un système (somme des énergies microscopiques) peut être modifiée par apport ou par retrait de chaleur et de
travail.

On comprend ici l’intérêt de ce principe pour la construction de machines thermiques qui auront pour but de transformer la chaleur en travail (machine à vapeur, moteur, etc.) ou bien de transformer le travail en chaleur (pompe à chaleur, réfrigérateur, climatiseur, etc.).

Deuxième principe

C’est ce principe, formulé en 1865 par le physicien allemand Rudolf Clausius, qui introduit une nouvelle variable dénommée entropie et notée ‘S’. Le deuxième principe est énoncé de la manière suivante :

« Toute transformation thermodynamique génère de l’entropie»

L’entropie est une grandeur extensive et est définit telle que sa variation lors d’une transformation réversible est égale à la quantité de chaleur apportée au système divisée par la température de ce même système, voir équation (1).

Si la transformation est irréversible, alors il y a une création d’entropie positive à cause des phénomènes dissipatifs (friction, diffusion, etc.), voir équation (2). On peut alors en déduire la fameuse inégalité de Clausius qui résume le second principe et qui est représentée dans l’inéquation (3) :

En réalité, une transformation réversible parfaite n’existe pas, toutes les transformations dites réelles sont irréversibles et elle créent de l’entropie. L’entropie totale de l’Univers est donc en perpétuelle augmentation depuis sa naissance. Cet énoncé est capital en thermodynamique et a de nombreuses
retombés au niveau scientifique mais également au niveau philosophique.

Pour la construction de machines thermiques, il faut comprendre avec ce principe que la génération d’entropie est un problème car cette entropie créée va venir diminuer le rendement des machines. Autrement dit, il faut fabriquer des machines qui minimisent la création d’entropie, c’est-à-dire  qui minimise principalement les pertes par frictions. On comprend naturellement qu’un moteur qui tourne  très vite va avoir un meilleur rendement si les frottements sont minimes.

Troisième principe

Ce principe, également appelé principe de Nernst fut énoncé en 1904 :

 « Si la température d’un système tend vers le zéro absolu, alors l’entropie tend vers zéro »


Les fondements et les implications de ce principe, liés à la physique quantique, sont complexes mais n’ont pas d’incidence sur la thermodynamique classique et la construction de machines thermiques. Je ne rentrerai donc pas dans les détails ici.

Les machines thermiques

Une machine thermique peut répondre à 2 fonctions principales :

Transformer la chaleur en travail (faire bouger un objet à partir de chaleur) : Machine à vapeur, moteur thermique (moteur à explosion, essence, diesel, alcool ou gaz dans les voitures, moteurs à réaction dans les avions), etc.

Transformer le travail en chaleur (faire du chaud ou du froid à partir d’un objet qui bouge) : Pompe à chaleur, réfrigérateur, climatiseur, etc.


Les machines thermiques sont basées sur un ensemble de transformations thermodynamiques que l’on vient faire subir à un fluide de manière cyclique. Dans notre étude thermodynamique, ce fluide est alors notre système qui va venir échanger de la chaleur et du travail avec le milieu extérieur .

– Dans la machine à vapeur, le fluide en question est de l’eau que l’on vient en général chauffer à l’aide d’une chaudière à charbon pour évaporer l’eau (apport de chaleur). La vapeur d’eau actionne alors un piston qui va entrainer une roue par l’intermédiaire d’un vilebrequin et provoquer un mouvement de rotation (création de travail). Illustration d’une machine à vapeur (source :
Wikipédia
) :


– Pour un moteur à explosion d’automobile, le fluide utilisé est de l’essence, du diesel, de l’alcool ou du gaz (GPL) selon les moteurs. Dans un moteur à essence 4 temps classique, on vient faire exploser un mélange air/carburant dans une chambre à combustion avec un petite étincelle founie par les bougies
(apport de chaleur). Cette explosion permet le mouvement d’un pison qui va engendrer un mouvement de rotation via un vilebrequin pour faire tourner les roues (création de travail).
Illustration d’un moteur à 4 temps (source : Wikipédia) :


– Dans les réfrigérateurs on utilise un fluide dit « frigogène » comme fluide caloporteur (qui transporte la chaleur). On utilisait du fréon au tout début mais maintenant ce sont des fluides complexes comme le dichlorodifluorométhane, le tétrafluoroéthane ou le méthylpropane qui sont moins nocifs pour l’environnement. Le principe général du réfrigérateur est de compresser un fluide à l’aide d’un compresseur (apport de travail) et d’effectuer ensuite une détente (diminuer la pression du fluide brutalement) pour faire du froid. Les climatiseurs sont basés sur le même principe et les pompes à chaleur sont simplement des climatiseurs qui fonctionnent ‘à l’envers’. Voir billet Du Frigo à la Cryo qui parle des machines frigorifiques.

Par commodité, on représente ces transformations dans des diagrammes qui peuvent être de différentes natures. Un des plus connus est le diagramme de Clapeyron qui représente l’évolution de la pression et du volume du fluide pendant les transformations. Ainsi, chaque ligne entre 2 points du diagramme
correspond à une transformation réalisée par un équipement particulier (échangeur de chaleur, vanne, turbine, piston …) entre 2 états du fluide.

Le Cycle de Carnot

Au début du 19ième siècle, Sadi Carnot, célèbre physicien et ingénieur français, établit le cycle thermodynamique idéal pour obtenir du travail mécanique à partir d’une source chaude et d’une source froide : le cycle de Carnot. Les recherches de Carnot étaient vitales à son époque pour fabriquer des machines à vapeurs optimales en améliorant les rendements et c’est également lui le premier à formuler de manière scientifique le principe du moteur thermique sur lequel tous les moteurs  thermiques sont  aujourd’hui construits dans les voitures et les avions (moteurs à explosion et moteurs à réaction).

 Ce cycle étant réversible, si on le prend dans le sens inverse, il est aussi le cycle idéal pour échanger de la chaleur d’une source chaude à une source froide à partir d’une source de travail donnée. Autrement dit : c’est le cycle de réfrigération idéal !

Le cycle de Carnot est constitué d’un ensemble de 2 transformations adiabatiques réversibles (pas d’échange de chaleur avec l’extérieur à entropie constante) et de 2 transformations isothermes (température constante). Dans le sens des aiguilles d’une montre, c’est un cycle moteur et les transformations sont les suivantes :

  • De A à B : Compression isotherme où une chaleur Q1 est extraite du système vers la source froide qui est à une température T1 (donc Q1<0)
  • De B à C : Compression adiabatique réversible (isentropique)
  • De C à D : Détente isotherme où une chaleur Q2 est apporté au système via une source chaude qui est à la température T2 (donc Q2>0)
  • De D à A : Détente adiabatique réversible (isentropique)

 

Le cycle de Carnot moteur dans le diagramme de Clapeyron (Pression en fonction du Volume)

 Au total, ce cycle produit un travail mécanique W = Q1+Q2 ainsi qu’une quantité de chaleur Q1 pour une quantité de chaleur apportée égale à Q2 et c’est le meilleur cycle possible entre une source chaude et une source froide.

Si on applique le 2ième principe de la thermodynamique sur ce cycle en disant qu’il est idéal (transformation adiabatiques réversibles, donc à entropie constante), on peut faire un bilan entropique du cycle.

– Pendant la transformation de A à B, l’entropie extraite du système est égale à la quantité de chaleur Q1 négative divisé par T1, voir équation (1)

– Pendant la transformation de C à D, l’entropie apportée au système est égale à la quantité de chaleur Q2 positive divisée par la température de la transformation, soit T2, voir équation (2)

– Les 2 autres transformations sont des transformations adiabatiques réversibles donc l’entropie reste constante. On peut alors dire que l’entropie perdue entre A et B est égale à l’entropie gagnée entre C et D, voir l’équation (3) qui symbolise l’équation de Clausius-Carnot et qui définit ainsi les chaleurs nécessaires à échanger entre une source chaude (à la température T2) et source froide (à la température T1).



Exemple avec cycle de Carnot

On considère une sorte de machine à vapeur idéale qui utilise l’eau comme fluide et qui serait basée sur un cycle de Carnot (impossible à réaliser). Dans notre machine fictive, la source froide est à la  température ambiante, soit T1= 20°C = 293 kelvin. La source chaude est à la température de la vapeur d’eau qui est donc T2= 100°C = 373 kelvin. Si on apporte une quantité de chaleur Q2=500 joules , alors la quantité de chaleur extraite du système est selon l’équation de Clausius-Carnot égale à Q1 = – T1 * (Q2/T2) = – 293 * (500/373) = -393 joules. Le travail fournit est donc égale à W=Q1+Q2 = 500 – 393 = 107 joules.

 Ceci signifie qu’entre 20°C et 100°C, si on apporte une quantité de chaleur de 500 joule, on pourra extraire dans le meilleur des cas un travail de 107 joule, le rendement optimal est donc n = W/Q2 = 107/500 = 21%. La physique nous apprend donc qu’il est impossible de fabriquer une machine thermique avec un
rendement supérieur à 21% entre 20°C et 100°C. Plus généralement on peut démontrer que le rendement pour une machine de Carnot ne dépend que des températures chaude et froide et que ce rendement est égal à :


Toutes les machines thermodynamiques tentent de se rapprocher du cycle de Carnot mais il est inatteignable en partie à cause du deuxième principe de la thermodynamique qui dit que toute transformation génère de l’entropie. Les transformations isentropiques (adiabatiques réversibles) sont alors impossibles, de même que les compressions isothermes car lorsqu’on comprime un gaz, on vient générer de la chaleur à cause des frictions, ce qui a pour effet d’augmenter la température du système.

 A titre d’exemple, un moteur thermique essence fonctionne entre 20°C (293 K) et 500°C (773 K) environ, son rendement de Carnot est donc de 1-273/773 = 62%. En réalité, un moteur à essence possède un rendement d’environ 36% en fonctionnement optimal et de 15% en fonctionnement dégradé (en ville par
exemple) à cause de la génération d’entropie dans les différentes transformations et de la génération de chaleur lors de la compression.

La thermodynamique : les bases

Durant ma deuxième année de doctorat, j’ai suivi un école d’été sur la physique des basses températures (cryocourse) et il y avait évidemment un rappel de la thermodynamique de base. De mémoire, voici la phrase d’introduction de notre professeur (qui est plus que vraie) :

« La première fois que l’on étudie la thermodynamique, on ne comprend rien. La deuxième fois, on pense avoir compris. Et la troisième fois, on est sûr et certain de n’avoir finalement rien compris mais ce n’est pas grave car on arrive tout de même à l’utiliser et ça marche !»



 

La thermodynamique est une discipline majeure de la physique et a connue de nombreuses évolutions au cours des siècles. Elle a pour fonction première l’étude de la chaleur et des différentes machines thermiques mais elle a aussi comme mission l’étude des systèmes à l’équilibre. La thermodynamique a été élaborée principalement au 19ième siècle par des scientifiques de renom avec entre autre Carnot, Clapeyron, Lord Kelvin, Clausius, Boltzmann, Van der Waals
etc. (voir portraits ci-dessus, vous remarquerez l’importance de la barbe).

 C’est un sujet vaste et complexe, mon billet de blog qui arbore le titre « La thermodynamique » est bien ambitieux mais je vais essayer autant que possible de vous en donner un aperçu concis et le plus juste possible, ce qui n’est pas une tache évidente… Si vous désirez simplement connaitre les principes et les applications aux machines thermiques, voir le billet Thermodynamique : Principes et Applications.

 La notion de système

La thermodynamique étudie des systèmes. Un système est une portion de l’Univers que l’on isole par la pensée et tout se qui est hors de ce système est appelé milieu extérieur. Il existe trois types de systèmes :

  • Les systèmes ouverts qui échangent de la matière et de l’énergie avec le milieu extérieur. Ex : une bouteille plastique d’eau ouverte : elle peut se remplir ou se vider, elle échange de la chaleur avec l’air ambiant et elle est déformable.
  • Les systèmes fermés qui n’échangent pas de matière avec le milieu extérieur mais qui peuvent échanger de l’énergie sous forme de travail mécanique et de chaleur. Ex : une bouteille plastique d’eau fermée. Elle peut être déformée et elle échange de la chaleur avec l’extérieur mais la quantité de matière à l’intérieur ne change pas.
  • Les systèmes isolés où il n’y a aucun échange avec le milieu extérieur (ni matière, ni énergie). Ex : une bouteille thermos fermée idéale rigide.

 

 Les variables d’état

Différentes grandeurs (ou variables) physiques sont utilisées en thermodynamique. Il est primordial de bien les comprendre et de pouvoir les classer dans différentes catégories pour ensuite les utiliser. Tout d’abord, il faut distinguer les grandeurs extensives et intensives :

  • – Une grandeur extensive est une grandeur physique qui est proportionnelle à la taille du système (on peut les additionner). Ex : masse, volume, quantité de matière, etc.
  • – Une grandeur intensive est une grandeur physique qui ne dépend pas de la quantité de matière considérée (on ne peut pas les additionner). Ex : température, pression, densité, etc.



La thermodynamique cherche à calculer les grandeurs physiques d’un système à un état d’équilibre en fonction d’autres grandeurs. Pour cela, on définit des variables d’état qui sont des grandeurs physiques mesurables permettant de définir l’état d’un système, indépendamment du chemin suivit pour
arriver à cet état.

Explication : Il y a quelques semaines j’ai fait une sortie en ski de randonnée dans les alpes suisses et nous devions atteindre le Mont Tellier situé à 2951 m en partant d’un parking situé à 1925 m. Deux groupes sont partis du parking par deux itinéraires différents :

  • – Le premier groupe a fait une ascension directe régulière totalisant 2951-1925 = 1026 m de dénivelé positif (trajet bleu).
  • – Le deuxième groupe a emprunté un chemin plus long nécessitant des montés et des descentes. Cet itinéraire, totalisait 1500 m de dénivelé positif (trajet rouge).



Dans cet exemple, on peut définir l’état du système par la variable « altitude » car la différence d’altitude entre le parking et le sommet des 2 itinéraires est la même : DA = 2951-1925 = 1026 m : l’altitude est donc une variable d’état.

En revanche, l’effort mécanique fourni par le groupe rouge est nettement supérieur à l’effort mécanique fourni par le groupe bleu : la variable « effort mécanique » n’est donc pas une variable d’état car elle dépend du chemin suivit entre 2 états à l’équilibre.

 En thermodynamique, les grandeurs d’état principales sont les suivantes :

  • La température (T) qui se mesure en degré kelvin, voir billet La Température pour plus de précision.
  • La pression (P) qui est une force par unité d’aire. La pression se mesure en pascal (1 Pa = 1 N/m²) mais on utilise souvent le bar par commodité (1 bar = 100 000 Pa). Un pneumatique de voiture gonflé à 2 bars signifie que l’air applique une force de 200 000 newton par mètre carré sur le pneu.
  • Le volume (V) qui se mesure en mètre cube.
  • L’énergie interne (U) qui représente l’ensemble des énergies microscopiques d’un système et se mesure en J/kg. L’énergie interne correspond à la somme des énergies dues à l’agitation thermique des particules et aux liaisons entre les nucléons, les atomes et les
    molécules.
  • L’enthalpie (H) qui est une fonction pratique en génie thermique car lorsque qu’une transformation a lieu à pression constante, la variation de l’enthalpie exprime la quantité de chaleur échangée. L’enthalpie se mesure en J/kg et est définit par H = U+P*V.
  • L’entropie (S) qui représente en quelque sorte le « désordre microscopique» d’un système et se mesure en J/K-kg. On reviendra un peu plus tard sur la notion d’entropie

Les grandeurs thermodynamiques qui ne SONT PAS des variables d’états (qui dépendent du chemin suivit) sont les suivantes :

  • Le travail (W) qui se mesure en Watt et représente une énergie mécanique par seconde.
  • La chaleur (Q) qui se mesure également en Watt et qui représente une énergie thermique par seconde.

 

Les fonctions d’état

Les différentes variables d’état ne sont pas indépendantes les unes des autres : elles sont liées de manière plus ou moins complexe et la thermodynamique a alors pour objectif de définir des « équations d’état » ou des « fonctions d’état » qui mettent en relations les différentes grandeurs d’état à l’équilibre.

 La fonction d’état thermodynamique la plus simple et la connue est l’équation des gaz parfaits qui s’écrit :

P*V = n*R*T

où les grandeurs d’état sont la pression (P), le volume (V) et la température (T) avec « n » la quantité de matière et « R » la fameuse constante des gaz parfaits. Cette équation est un modèle fiable pour les gaz dit parfaits, c’est-à-dire les gaz constitués de particules suffisamment éloignées les unes des autres pour en négliger les interactions : le diazote et le dioxygène de notre atmosphère en sont un exemple.

 

Les transformations

On appelle transformation le passage d’un état d’équilibre initial à un état d’équilibre final. On identifie souvent les transformations par une variable d’état qui reste constante : une transformation à température constante (isotherme), à pression constante (isobare), à volume constant (isochore), à enthalpie constante (isenthalpique), à entropie constante (isentropique).

 On entend également souvent parler de transformation adiabatique, cela signifie simplement que c’est une transformation au cours de laquelle le système n’échange pas de chaleur avec le milieu extérieur.

 Plus généralement, il existe deux grandes classes de transformations :

– Les transformations réversibles : une fois la transformation effectuée, l’état initial peut être rejoint depuis l’état final en appliquant une action mineure sur le système. Ex : Une bouteille d’eau fermée à température et pression ambiante (20°C, 1 bar) est laissée sous un soleil de plomb. La température monte alors à 30°C et la pression à 2 bar. Si le soleil disparaît sous un nuage, la bouteille retrouve son état initial au bout d’un certain temps.

– Les transformations irréversibles : une fois la transformation réalisée, il est impossible de revenir à l’état initial depuis l’état final de manière rapide et simple. Ex : Une bouteille est remplie de 2 liquides de mêmes densités et de couleurs différentes (un bleu et un jaune) séparés par une paroi étanche. On retire la paroi et les 2 liquides se mélangent. Il est alors impossible de retrouver l’état initial simplement.

 

Une transformation est généralement considérée réversible si les grandeurs intensives sont continues, si la transformation est lente (on dit alors qu’elle est quasi-statique) et s’il n’y a pas de phénomènes dissipatifs (diffusion, frictions,
etc.).

 On peut également retenir qu’une transformation adiabatique (qui n’échange pas de chaleur avec le milieu extérieur) et réversible est une transformation isentropique.

Les Probabilités et le Loto

La probabilité, voici une notion quotidienne qui n’est pas toujours bien
comprise par tous. Je vais donc essayer de vous dresser un petit aperçu de la fonction et des possibilités des probabilités ainsi que leur utilisation, en particulier pour le Loto.

Définition

Les probabilités permettent d’estimer la chance (ou le risque) qu’un événement se produise ou pas. Une des principales applications des probabilités sont les jeux de hasard comme le Loto. On quantifie une probabilité par un nombre entre 0 et 1 qui correspond au pourcentage de chance (ou de risque) que l’événement considéré ai lieu.
Exemple avec le jet d’un dé

Voici la démarche pour trouver la probabilite d’un
événement:

1)  Formuler l’événement qui va nous intéresser. Ex : « Un dé non pipé affiche un chiffre pair »

2) Lister toutes les possibilités de résultats. On énumère alors tous les cas possibles dans un ensemble que l’on appelle ‘Oméga’. Dans notre exemple: Ω = {1,2,3,4,5,6} et on dit que le cardinal de Oméga est égal à 6 car il contient 6 éléments.

3)  Dénombrer tous les cas favorables. Dans notre exemple, on vient lister tous les nombres pairs possibles dans un ensemble appelé A: A = {2,4,6} et on a donc le cardinal de A égal à 3.

4) Calculer la probabilité qui est égale au nombre de cas favorables, divisé par le nombre de cas possibles : p = card(A)/card(Ω) = 3/6 = 0,5 = 50%

 La probabilité d’obtenir un chiffre pair en tirant un dé donc de 50%.

Le dénombrement

Cet exemple peut paraître trivial mais il est important de comprendre cette mécanique pour calculer des probabilités plus complexes. La difficulté va ensuite venir du fait qu’il n’est pas toujours évident de dénombrer les possibilités d’un événement. Pour le jet d’un dé, on a 6 possibilités
faciles à lister mais on voit bien que l’on ne va pas pouvoir lister toutes les possibilités de tirages du Loto car cela prendrait trop de temps.

Il existe une discipline des mathématiques qui s’appelle l’analyse combinatoire (l’étude des combinaisons) qui s’occupe justement de résoudre les problèmes de dénombrement. Voici les 4 principaux dénombrements à retenir :

1) Le nombre de possibilités d’ordonner ‘n’ éléments discernables est égal à:
1*2*3*4…*n = n ! (prononcer ‘factoriel n’). Ex : Possibilité de ranger 4 tasses différentes : 4 !=1*2*3*4 = 24 façons :

 



2) Le nombre de possibilités d’ordonner ‘n‘ éléments  avec ‘n1‘ éléments identiques, ‘n2‘ éléments identiques, etc.. est égal à :

Ex : Le nombre de possibilité d’ordonner 4 tasses avec 2 tasses rouges et 2 tasses bleues : 4! / (2! * 2!) = 24/4=6 possibilités :



3) Le nombre de possibilités d’arranger ‘k‘ éléments parmi ‘n‘ en tenant compte de l’ordre :


Ex : Nombre de possibilités d’arranger 2 tasses parmi 4 tasses en tenant compte de l’ordre : 4 !/ (4-2) ! = 24/2 = 12 possibilités :




4) Le nombre de combinaisons de ‘k‘ éléments parmi ‘n‘ sans tenir compte de
l’ordre:

Ex : Le nombre de combinaisons de 2 tasses parmi 4 sans tenir compte de l’ordre est : 4 !/(2 !* 2 !) =24/(2*2) = 6 combinaisons:



Le Loto
Au loto, on choisit 6 numéros parmi une grille de 49 numéros et on ne tient pas compte de l’ordre de sortie des numéros. Dans ce cas, le nombre de grilles possible est :


Si un joueur joue 1 seule grille, la probabilité d’avoir les 6 bons numéros est donc
d’une chance sur 14 millions environ, soit  0,000007 % de chance d’empocher le Jackpot.

En jouant depuis vos 18 ans jusqu’à vos 98 ans, soit pendant 80 ans, à raison de 2 tirages par semaines, vous avez donc joué 8 348 tirages au total. L’évènement qui nous intéresse maintenant est :

« Avoir au moins une bonne grille de Loto sur 8348 tirages»

Pour retranscrire le « au moins une bonne grille« , nous allons calculer la probabilité inverse, c’est à dire :

« Avoir 8348 mauvaises grilles de Loto sur 8348 tirages»

Premièrement, on cherche le nombre de « mauvaises » grilles, la réponse est simplement le nombre de grilles  possibles moins la bonne grille (la bonne combinaison),  c’est à dire 13983816-1. La probabilité de perdre à un tirage est donc de :

Si on effectue 8348 tirages, les probabilités se multiplient et on obtient ainsi comme probabilité de perdre pendant 90 ans :

Maintenant, nous revenons au probleme initial et on cherche la probabilité
inverse, c’est à dire la probabilité de gagner au moins une fois sur 90 ans, on obtient alors:



Conclusion : En jouant toute votre vie, vous avez une chance sur 1 676 de gagner le gros lot donc mieux vaut bosser comme tout le monde et ne pas jouer au Loto. Cependant, les 8 348 tirages ont coûté « seulement » 5 000 euros et le retour sur investissement est donc bien meilleur par rapport à la bourse mais les chances de gagner sont nettement plus faibles !

L’Euro Millions
A l’Euro Million, le joueur choisit 5 numéros entre 1 et 50 et 2 numéros (appelés étoiles) entre 1 et 9 sans tenir compte de l’ordre. Le nombre de combinaisons possibles est donc de :


La probabilité d’obtenir les 5 bons numéros et les 2 bonnes étoiles est donc de
0,00000131%, soit environ 1 chance sur 76 millions : cinq fois moins qu’au Loto !