Archives mensuelles : février 2015

La beauté des équations en physique

Certains vous dirons que la physique est ennuyeuse, d’autres qu’elle est compliquée ou encore difficile d’accès alors que les physiciens vous diront qu’elle est une science noble et que la physique  produit de « belles » équations. La beauté d’une équation ? Oui, parfaitement, une équation peut être esthétique. Cette beauté des équations peut revêtir à mon sens 2 traits distincts :

  • La beauté visuelle : elle est belle à regarder.
  • La beauté du sens : elle exprime une quantité d’informations extraordinaires avec un minimalisme et une exactitude mathématique.

equation3

A quand les musées d’équations ?

La beauté visuelle

Si une équation est belle esthétiquement, c’est d’abord parce que la physique utilise de nombreux signes différents, parfois inconnus du grand public. De plus, tous ces chiffres, lettres et signes étranges se côtoient les uns à côté des autres  sans logique apparente pour les non-initiés et c’est sans doute cet agencement un peu magique qui peut rendre une équation « belle ».

Une équation physique peut bien entendu contenir des chiffres arabes (0,1, 2, 3,…) pour définir une valeur, ainsi que des lettres pour définir une quantité physique (la masse, la vitesse, etc.).

Ces lettres, majuscules ou minuscules, peuvent être soit latines (a, b, c, d…) en caractère d’imprimerie ou en écriture cursive, soit grecques, ce qui apporte pour nous autres français une première touche d’exotisme dans les équations. Au total, ça nous fait déjà 166 caractères possibles pour nos équations !

alphabetgrecAlphabet grec majuscule et minuscule. Toutes les lettres sont utilisées en physique et certaines lettres ont pratiquement toujours la même signification. Par exemple lambda représente toujours une Longueur d’onde ou une conductivité thermique en thermodynamique.

 Le troisième type de caractère que l’on peut rencontrer en plus des chiffres et des lettres est le plus intéressant car sans doute le plus inaccessible et le plus puissant, à savoir les opérateurs mathématiques (en dehors des quatre opérateurs arithmétiques de base pour l’addition, la soustraction, la multiplication et la division). Ces opérateurs permettent de réaliser des calculs répétitifs (voir rébarbatifs) entre les lettres et les chiffres de manière à simplifier les écritures et éviter d’avoir des équations de 10 kilomètres de long !  Citons-en quelques-uns :

  • La somme, grande et majestueuse, est un sigma grec majuscule. Elle permet l’addition de nombreux termes dans une écriture compacte.
  • L’intégrale, avec sa belle courbe de chat, permet de sommer une infinité de quantité.
  • Nabla, qui n’est autre que le delta grec majuscule inversé, permet de simplifier la notation des équations aux dérivés partielles et d’économiser beaucoup de papier et d’encre.
  • Le Bra-Ket en physique quantique permet de simplifier grandement les équations utilisant des états quantiques.

 operateurs

 En plus de toutes ces « belles » lettres et symboles, le physicien possède toute une panoplie de petits signes supplémentaires pour surcharger les lettres. Au-dessus, on peut ajouter des flèches (les vecteurs), des points (les dérivés), des accents circonflexes (une estimation), ou bien des barres (un opposé). Autour, les lettres peuvent s’encadrer entre des barres verticales simples ou doubles (modules), entre des crochets, ou encore entre des accolades ou des parenthèses. Et puis évidemment, on a tous les indices et exposants à notre disposition pour continuer notre décoration.

Bref, tout un attirail pour faire de jolies choses, où les styles peuvent aller du minimalisme au rococo en passant par le baroque…

 La beauté du sens

En plus de l’esthétique, il y a bien sûr le « sens » d’une équation et surtout ses conséquences, tant sur le plan métaphysique que pratique. Le physicien trouve souvent une équation « belle » si avec peu de termes il peut en découler une théorie toute entière.

C’est par exemple ce qui fait la célébrité du fameux E=mc2 : seulement 5 caractères, chaque terme est facilement exprimable avec des mots communs (énergie, masse et vitesse de la lumière) et les conséquences sont énormes car cette équation signifie que masse et énergie sont équivalentes et que la masse inerte contient une énergie gigantesque. Sur le plan pratique, cette équation permet de penser à de nouvelles sources d’énergie pour l’humanité (centrales nucléaires) mais aussi malheureusement à des sources colossales de destruction (bombe atomique, bombe hydrogène).

Mais le physicien qualifie aussi parfois des équations compliquées de « belles » car il est parvenu à en percer le sens et à s’approprier chaque terme et chaque relation entre les grandeurs, et ceci a un petit côté magique. C’est le moment où on arrive à comprendre une équation, à en saisir le sens profond et tout d’un coup, une vulgaire équation devient belle…

Il faut aussi savoir qu’une équation possède toujours un domaine de validité, c’est-à-dire un contexte physique dans lequel l’équation est vraie. En dehors de ce domaine, l’équation ne marche plus. Par exemple, la loi universelle de la gravitation établie par Isaac Newton en 1684 n’est pas universelle contrairement à son intitulée, elle est valide uniquement si la vitesse relative des corps est très inférieure à la vitesse de la lumière ((v/c)2 << 1). En effet, depuis 1915, la relativité générale d’Einstein explique la gravité dans toutes les situations observées jusqu’à aujourd’hui et possède donc à l’heure actuelle un domaine de validité infini (mais qui sera peut-être un jour réduit). On peut conclure que l’équation de la relativité générale est belle car elle s’applique en toutes circonstances mais elle est très difficile d’accès pour ce qui est d’en saisir le sens profond, alors que la loi universelle de la gravitation de Newton est belle car très simple à comprendre mais elle n’est pas toujours valide.

 graviteNewton contre Einstein : 2 équations expliquant la gravité. Quelle est la plus belle ? La plus simple à saisir ou celle ayant le plus grand domaine de validité ?

 Les 4 équations que j’aime bien

Voici 4 équations que j’aime bien et que je trouve belles. Je vous les présente par ordre chronologique ci-dessous.

L’équation de bilan d’énergie d’un fluide newtonien en mouvement dans l’approximation des milieux continus est décrite par la 3eme équation de Navier-Stokes (1845). Un million de dollars sera offert par l’institut Clay à celui qui trouve la solution générale. Je l’aime bien car je l’ai utilisée dans ma thèse et j’ai pas mal travaillé dessus : je la trouve donc tout simplement belle…

navierstokesL’équation de Maxwell-Faraday (1865) est une des 4 équations de Maxwell qui décrivent l’interaction électromagnétique et donc tous les phénomènes lumineux. Cette équation nous dit notamment qu’une variation du champ magnétique dans le temps permet d’induire un champ électrique dans l’espace et donc un éventuel courant dans un câble. Toutes les génératrices électriques comme les dynamos de vélo utilisent cette équation. J’ai représenté ici la même équation sous sa forme locale (dérivée) et sous sa forme intégrale que certains trouveront plus « esthétique ».

maxwellfaradaymaxwellfaraday_integraleLe principe d’incertitude d’Heisenberg (1927). Celle-ci je l’aime bien pour son style minimaliste et parce qu’elle est simple à comprendre (même si en détail, ce n’est pas aussi simple) : le produit des « erreurs » de mesure sur la position (sigma x) et sur le moment (sigma p) d’une particule est toujours supérieur à une valeur constante  qui dépend de la constante de Planck (h). Autrement dit, il est impossible de bien connaitre la position et la vitesse d’une particule en même temps, plus on connait bien l’un, moins on connait l’autre. C’est un des piliers de la physique quantique. heisenbergLe lagrangien du modèle standard de la physique des particules (1974). Cette équation résume en gros notre monde et ses interactions sans la gravité (force électromagnétique, force forte et force faible). Elle est en quelque sorte l’aboutissement de la physique du 20ème siècle et les expériences se poursuivent dans les accélérateurs de particules du monde entier pour conforter ce modèle qui n’a jamais vraiment été mis en défaut jusqu’à aujourd’hui. La dernière grande validation de ce modèle a été la prédiction et la découverte du boson de Higgs au CERN en 2012.

cernmug

Écrire les équations à la main

Je n’ai pas une belle écriture, on peut même dire que mon écriture est exécrable (d’ailleurs quand j ’étais étudiant personne ne voulait de mes cours car c’était illisible) mais j’aime bien écrire quand même pour moi-même, et j’aime encore plus écrire des équations à la main ! C’est d’ailleurs intéressant de noter que pour des questions de rapidité, certains signes sont par convention toujours « écorchés » à la main comme les flèches des vecteurs qu’on ne trace généralement qu’à moitié.

Voici le résultat ci-dessous avec mes équations préférées citées plus haut (équations écrites avec un feutre-pinceau japonais volé à ma femme) :

equation_main

Signification des lettres grecques

Un dernier petit paragraphe sur les significations usuelles des lettres grecques en physique, évidemment ce n’est pas exhaustif et j’ai mis simplement les significations que je connais.

  • alpha. Etant la première lettre de l’alphabet, alpha s’emploie à peu près pour tout et n’importe quoi, même si souvent elle représente un facteur adimensionnel. On l’utilise aussi pour désigner la constante de structure fine qui régit la force électromagnétique.
  • bêta. S’emploie aussi très souvent. Signalons peut être juste qu’en relativité restreinte, bêta représente la vitesse réduite d’un objet, c’est-à-dire le rapport entre la vitesse d’un objet et la vitesse de la lumière.
  •  gamma. Représente les photons en physique des particules, les rayons gamma en électromagnétisme et le facteur de Lorentz en relativité restreinte.
  • delta. Généralement utilisé pour représenter une petite grandeur. Le delta minuscule est aussi utilisé comme un opérateur pour représenter la variation infinitésimale d’une grandeur.
  • epsilon. Représente une constante positive arbitrairement petite ou une erreur. Symbolise aussi la permittivité électrique.
  •  zêta : peu utilisé.
  • êta. Représente souvent un rendement. Permet aussi de dénoter la viscosité dynamique en mécanique des fluides.
  • thêta. Lettre représentant généralement un angle ou bien la température en thermodynamique.
  • iota. Peu utilisé.
  • kappa. Représente une constante dans l’équation d’Einstein de la relativité générale.
  • lambda. représente toujours une Longueur d’onde ou une conductivité thermique en thermodynamique.
  • mu. Permittivité magnétique en électromagnétisme ou viscosité dynamique en mécanique des fluides.
  • nu. Fréquence d’une onde ou viscosité cinématique en mécanique des fluides.
  • ksi. Fonction d’onde.
  •  omicron. Peu utilisé
  • pi. Utilisée comme la constante connue.
  • rho. Résistivité électrique ou masse volumique en mécanique.
  • sigma. Conductivité électrique.
  • tau. Constante de temps d’un système.
  •  upsilon. Peu utilisé.
  • phi. Flux magnétique ou déphasage d’une onde.
  • khi. Coefficient de compressibilité en thermodynamique.
  •  Psi. Flux électrique en électromagnétisme et fonction d’onde en mécanique quantique.
  • oméga. Pulsation d’une onde qui se propage.

Farfadets rouges, elfes et jets bleus…

Un farfadet dans un blog de science sérieux ? Eh bien oui, mais pas de n’importe quelle couleur : ici, je ne parlerai que des farfadets rouges, qui ne sont pas des petites créatures du folklore du Poitou, mais des phénomènes lumineux transitoires de la haute atmosphère, tout comme les elfes et les jets bleus.

farfadets2

Phénomènes lumineux transitoires

En effet, depuis un siècle, plusieurs témoignages parlent de phénomènes extrêmement brefs et impressionnants dans la haute atmosphère, c’est-à-dire au-dessus des nuages entre 20 km et 100 km d’altitude, mais ce n’est que depuis les années 90 qu’on a pu les photographier et les étudier de manière scientifique car pour les observer, il faut en général être sur un haut sommet ou en orbite basse autour de la Terre lors d’orages violents.

En effet, ces phénomènes optiques sont déclenchés par les orages qui occasionnent des décharges électriques violentes en dessous dans la troposphère. Aujourd’hui ces phénomènes ont été observés des dizaines de milliers de fois et on estime leur occurrence à environ un million par année sur Terre.

Upperatmoslight1 Résumé des phénomènes lumineux transitoires entre 20 et 100 km d’altitude

 Farfadet

Egalement désigné par le terme « sylphes rouges » ou encore « red sprites » en anglais, les farfadets sont sans doutes les phénomènes les plus impressionnants. Ils ont lieu entre 50 km et 100 km d’altitude et durent quelques millisecondes seulement. Ils sont caractérisés par une forme de méduse de couleur rouge avec les filaments qui s’étendent vers la Terre. Ces farfadets peuvent mesurer jusqu’à 50 km de large et ont été signalés pour la première fois au début du 20ème siècle mais le premier farfadet photographié date de 1989, photo prise par hasard par une navette spatiale.

farfadet Farfadets photographiés depuis le sol en aout 2012 au Danemark. © Jesper Grønne.

 BigRed-Sprite Première image en couleur de sylphes rouges et de jets bleus.

Elfes

Les elfes sont des phénomènes qui ont lieu à très haute altitude, au-dessus de 100 km dans l’ionosphère et peuvent mesurer jusqu’à 400 km de diamètre. ELFE est en fait un acronyme pour Emission of Light and Very low-frequency perturbations from Electromagnetic pulse sources (ELVE en anglais). Les elfes ont été identifiés la première fois au début des années 90 par une navette spatiale américaine au-dessus de la Guyane. Ce phénomène semblerait provoqué par une très importante impulsion électromagnétique lors de violents orage qui se propagent dans toutes les directions dans une sphère en accélérant des électrons. Lorsque cette sphère rencontre l’ionosphère, qui possède une importante conductibilité électrique et où les gaz sont ionisés, l’azote s’illumine à cause de son interaction avec les électrons accélérés à haute énergie. Il en résulte des disques de couleur jaune/rouge qui se propagent du centre vers l’extérieur. Ces disques sont en fait le résultat de la rencontre entre la sphère (issue de l’impulsion électromagnétique de l’orage) et la couche de l’ionosphère à environ une centaine de kilomètres.

elve_345 Un elf

 Jets bleus

Les jets bleus se produisent juste au-dessus des orages, ils naissent au sommet des nuages pour se propager vers le haut à une vitesse de 100 km/s dans un cône de plusieurs dizaines de kilomètres de haut et d’environ 15 degrés de large. Ils sont beaucoup moins fréquents que les farfadets mais plus facile à observer car plus lumineux et moins haut. Cependant, seulement quelques centaines d’images de jets bleus existent aujourd’hui.

blujetDes jets bleus

Etudes spatiales sur les phénomènes lumineux transitoires

Pour mieux étudier ces phénomènes, 2 expériences scientifiques ont été mises sur pied depuis l’espace :

  • L’expérience LSO (Lightning and Sprites Observations) est localisée sur la station spatiale internationale (ISS), donc sur une orbite terrestre basse à environ 400 km d’altitude. Elle est constituée de deux micro-caméras sur un bras rotatif qui filment la Terre pendant les orages pour obtenir des statistiques sur les farfadets et les elfes. Voir plus de détails ici.
  • Le micro satellite Taranis (Tool for the Analysis of RAdiations from lightNIngs and Sprites) aura pour objectif d’étudier tous les phénomènes transitoires entre 20km et 100 km d’altitude à partir d’une orbite polaire à 700 km. Le satellite est en cours de construction par le CNES et devrait être opérationnel à partir de 2017. Voir plus de détails ici.

taranisVue d’artiste du satellite Taranis avec des farfadets en arrière-plan. © CNES.