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Gödel: Le génie fou de la logique

Je viens de finir une biographie-fiction de Kurt Gödel, « La déesse des petites victoires » de Yannic Grannec, et je me suis dit que ce génie des mathématiques devenu fou ferait un bon sujet de billet.

godel

Kurt Gödel est un logicien autrichien (il étudie la logique mathématique) qui a révolutionné la vision des mathématiques du 20ième siècle mais le grand public le connait assez peu, principalement à cause de son caractère taiseux et du fait qu’il publiait rarement tout en essayant d’être le plus loin possible des projecteurs.

L’incomplétude des mathématiques

En 1931, à seulement 25 ans, il surprend les mathématiciens de son époque en démontrant que n’importe quelle arithmétique (la science des nombres) est nécessairement incomplète (ce qu’on appelle couramment le théorème d’incomplétude de Gödel). L’incomplétude d’une théorie signifie que certains énoncés de cette théorie ne peuvent en aucun cas être démontrés en restant au sein de ladite théorie. A cette époque, les plus grands mathématiciens étaient persuadés du contraire (et plus particulièrement David Hilbert), d’où l’étonnement général et la remise en question des mathématiques.

En gros, Gödel a prouvé de manière formelle qu’il est absolument impossible de fournir une théorie unique de l’ensemble des mathématiques !

Princeton

Suite à l’arrivée d’Hitler au Pouvoir et à l’Anschluss, il part aux U.S.A en 1933 au célébrissime Institut d’Etude Avancée de Princeton (IAS).  Dans ce temple de l’excellence scientifique, Gödel se lie d’amitié avec Albert Einstein, également pensionnaire de l’IAS. Einstein dira d’ailleurs à la fin de sa vie « Je ne vais à mon bureau que pour avoir le privilège de rentrer à pied avec Kurt Gödel ». Le célèbre couple Einstein-Gödel défiait la chronique entre le physicien extraverti toujours débraillé avec ses cheveux en bataille et le mathématicien introverti toujours tiré à quatre épingles surmonté de ses fameuses lunettes rondes. A la fin des années 40, Gödel étudiera d’ailleurs la relativité de manière « logique » et trouvera une solution paradoxale permettant les voyages dans le temps (les univers de Gödel).

einstein-et-godelLes deux contraires : Einstein et Gödel

Gödel et Dieu

Gödel  passera de nombreuses années à la fin de sa vie à tenter de développer une  logique formelle de la philosophie. Il ira jusqu’à développer une preuve ontologique de l’existence de Dieu inspiré d’Anselme de Cantorbéry et de Leibniz. De peur d’être critiqué, il ne publia jamais cette preuve qui émergea des archives 9 ans après sa mort.

Dieu_Preuve

Preuve ontologique de l’existence de Dieu selon Gödel

La folie de Gödel

Gödel était hypochondriaque et avait des tendances paranoïaques. Sa femme Adèle l’a soutenue et aider toute sa vie durant pour le maintenir à flot. A la fin de sa vie, il était considéré comme « fou » par la plupart des gens car sa psychose paranoïaque augmentait et il ne se nourrissait plus de peur d’être empoisonné.  Il est mort à l’âge de 72 ans et ne pesait plus que 30 kilo comme il refusait de se nourrir.

Il existe depuis 1992 un « prix Gödel » qui récompense des travaux en informatique théorique.

Les Equations Différentielles Partielles

Le titre peut paraitre barbare et ennuyeux au premier abord, mais il ne faut pas se décourager par un titre ayant l’air trop savant, car nul besoin d’avoir fait Math Sup pour comprendre à quoi servent les Equations Différentielles Partielles, EDP en abréviation.



Simulation du bruit dans un moteur d’avion à réaction (Comsol)

Les dérivées partielles

De nombreuses disciplines de la physique ont pour mission de décrire des phénomènes de transport et de propagation. Pour décrire de tels phénomènes, il paraît naturel de vouloir décrire l’évolution de certaines grandeurs physiques dans le temps et dans l’espace.

– Les phénomènes de transport  illustre le transport de grandeurs physiques via le déplacement de matière. Exemple : on souhaite décrire l’évolution temporelle et la répartition spatiale de la vitesse du sang à travers le réseau vasculaire lors des ramifications des artères et des vaisseaux sanguins.



Vitesse du sang lors de ramifications (simulation personnelle)

– Les phénomènes de propagation sont quant à eux responsables de la propagation de grandeurs physiques sans qu’il y ai nécessairement de transport de matière. Exemple : on souhaite décrire l’évolution de la température dans une barre de métal chauffée à une extrémité (propagation de la chaleur dans le métal). Les phénomènes ondulatoires comme le son, la lumière ou les vagues des océans sont également des phénomènes de propagation. Ces propagations peuvent avoir besoin d’un milieu pour se propager (le son dans l’air, les vagues dans l’eau) ou pas (la lumière dans le vide).



Vous aurez compris que les EDP permettent de décrire ces phénomènes. Le principe est en somme assez simple. Une EDP est une équation dans laquelle il y a des dérivées partielles qui représentent l’évolution de grandeurs physiques en fonction d’autres. Par exemple, la dérivée partielle de la température (T) par rapport au temps (t) se note de la manière suivante (prononcez « D rond T sur D rond t ») :


Si cette dérivée partielle est égale à 2, cela signifie qu’à chaque seconde (dt = 1s), la température augmente de 2 °C (dT=2°C).  En 10 secondes, la température aura donc augmentée de 20°C. On peut faire de même dans une direction de l’espace : prenons par exemple la variation de la température
dans la barre de métal selon la direction horizontale appelée x (prononcez « D rond T sur D rond x ») :

Si cette dérivée partielle est égale à -25, cela signifie qu’à chaque mètre (dx=1m), la température diminue de 25 °C (dT = -25°C). Si la barre mesure 5 mètres de long, il y aura une différence de 125°C entre le bout chauffé et l’extrémité de la barre.

Les champs d’application

Voici une petite liste (non exhaustive) des disciplines qui utilisent les EDP comme support mathématique avec un exemple d’équation différentielle partielle dans chaque domaine:

  •  La mécanique des fluides : décrit l’écoulement des fluides (équations de Navier-Stockes)
  • La mécanique des structures : étudie la déformation des matériaux sous contraintes mécaniques (équations de la résistance des matériaux).
  • La thermodynamique : décrit les transferts de chaleurs (équation de Fourier)
  • L’électromagnétisme : décrit la propagation de la lumière (équation de Maxwell)
  • La gravitation : décrit les champs gravitationnels (équations de la relativité générale d’Einstein)
  • La mécanique quantique : décrit l’évolution de particules non relativistes (équation de Schrödinger)
  • La biologie: décrit l’évolution de populations d’individus (équation de diffusion et de réaction)

 

Les équations de Navier-Stockes

Unes des EDP les plus connues sont les équations de Navier-Stockes qui datent du 19ème siècle. Elles permettent de décrire l’écoulement des fluides, c’est-à-dire des gaz et des liquides. Elles sont utilisées pour décrire de très nombreux phénomènes très divers comme les mouvements de l’air dans l’atmosphère, les courants océaniques, les profils aérodynamiques des avions, l’écoulement dans les tuyères de lanceurs spatiaux, la circulation sanguine, l’écoulement d’eau dans une conduite ou encore la circulation d’hélium à température cryogénique pour refroidir un accélérateur de particules (c’est cette dernière application qui a motivée une partie de ma thèse).

 

Ecoulements supersoniques dans une tuyère de lanceur spatial à partir des équations de Navier-Stockes (Onera)

 Les équations de Navier-Stockes sont composées de 3 équations (dites bilan massique, bilan des moments et bilan énergétique). On peut les représenter de la manière suivante selon les 3 dimensions de l’espace (x1, x2 et x3) et du temps (t) :

Si quelqu’un trouve une solution à ces équations, merci de me la faire parvenir par email car c’est un problème à 1 million de dollars ! En effet, l’institut Clay basé à Cambridge a formulé 7 problèmes pour le nouveau millénaire et il offre 1 million de dollars à qui trouve un de ces 7 problèmes dont l’équation de Navier-Stokes fait partie. A ce jour, un problème a déjà été résolu : la conjecture de Poincaré résolue en 2003 par le mathématicien russe Grigori Perelman. Pour
voir l’énoncé précis à résoudre pour Navier-Stokes : http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/navierstokes.pdf

 Simuler des Equations Différentielles Partielles

Les équations différentielles partielles sont généralement très complexes à résoudre ou alors elles possèdent des solutions pour des cas bien particuliers, généralement simples et non exploitables. De plus, ces équations sont le plus souvent non-linéaires car la somme des causes n’induit pas une simple
addition des effets et l’analyse des différents phénomènes physiques est rendue complexe.

 Dans la majorité des grandes installations industrielles, de nombreux problèmes d’ingénierie nécessitent la résolution de telles équations et l’expérimentation est généralement limitée. La simulation numérique constitue alors le seul moyen d’appréhender ces systèmes pour les étudier, les concevoir et les optimiser.

 La modélisation

La première étape de la simulation est la démarche de modélisation qui consiste à mettre sous forme d’équations mathématiques les phénomènes qui nous intéressent. Si la démarche de modélisation à partir des équations de la physique est choisie, il en résulte généralement des EDP non-linéaires.
Contre toutes attentes, il ne suffit pas d’injecter ces équations dans un ordinateur pour obtenir des résultats. Un modèle se bâtit au fur et à mesure pour prendre en compte de plus en plus de phénomènes et ce n’est jamais un modèle unique qui est développé mais une multitude de modèles ayant différents degrés de complexité.

 De plus, les équations de la physique possèdent toujours un cadre de validité et la question de savoir si une équation physique est applicable à un problème précis doit toujours être posée et évaluée méticuleusement. Par exemple, la théorie de la gravitation de Newton peut être utilisée pour étudier la
chute d’une pomme sur Terre mais cette théorie devient inefficace pour étudier le mouvement de certains objets célestes où la théorie de la relativité générale d’Einstein doit être considérée. Il est donc primordial avant tout travail d’identifier clairement les paramètres et les phénomènes pertinents pour l’application considérée et de faire un choix d’équations approprié.

 De plus, la démarche de modélisation doit faire face à deux problèmes d’interaction :

  • Le couplage entre plusieurs phénomènes physiques (thermodynamique et mécanique des fluides par exemple)
  • Le couplage entre plusieurs échelles (phénomènes microscopiques et macroscopiques)

 En effet, dans la réalité, les phénomènes de différentes disciplines peuvent interagir ensemble : par exemple, pour étudier une cuve d’électrolyse d’aluminium (procédé industriel assez classique), la mécanique des fluides et l’électromagnétisme interagissent donnant ainsi naissance à une autre
discipline qui porte le doux nom de magnéto-hydro-dynamique. Dans ce cas, les EDP interagissent entre elles, ce qui entraine encore de la complexité!! On parle désormais de modélisation multiphysique permettant de coupler les différents phénomènes entre eux et c’est un domaine de recherche actif qui sert les ingénieurs au quotidien.

 

Le calcul scientifique

La deuxième étape essentielle de la simulation est la méthode de calcul scientifique pour résoudre numériquement un ensemble d’EDP. La puissance de calcul des ordinateurs n’a cessé d’augmenter durant les dernières décennies et des outils avancés de modélisation et de simulation numérique ont énormément progressé. Lorsque des systèmes complexes n’ayant pas de solutions analytiques devaient être étudiés sans l’informatique, il était nécessaire de construire des prototypes, des maquettes et de procéder ensuite à des mises à l’échelle. Il fallait procéder empiriquement pour comprendre, améliorer et optimiser ces systèmes. De nos jours, les outils informatiques modernes de modélisation nous permettent de simuler le comportement dynamique de systèmes complexes.

 La méthode de calcul la plus connue pour simuler de telles équations est la méthode des éléments finis qui
consiste à découper les objets étudiés en de petits éléments (des triangles par exemple en 2D ou des cubes en 3D) et de résoudre les EDP dans chaque petit élément à intervalles de temps régulier. Dans ce cas, on parle de discrétisation des EDP, c’est-à-dire qu’on les « casse » en des milliers de petites équations simples que les ordinateurs savent résoudre. Ce sont les résultats de ces simulations que vous pouvez souvent apercevoir dans des magazines ou des publicités. Maintenant vous pourrez vous dire que tous ces petits carrés colorés
sont les résultats de milliers de petites équations obtenues à partir d’équations aux dérivées partielles !



Discrétisation en éléments finis d’un moteur asynchrone en vu de la simulation de son champ électromagnétique (simulation personnelle)

Pour avoir un aperçu de toutes les applications possibles, je vous conseille de regarder le site de Comsol  qui édite un logiciel de simulation basé sur les éléments finis : http://www.comsol.fr/showroom/

Wolfram : un moteur de calcul de connaissances !

Un nouveau site vient de voir le jour sur la toile : Wolfram
Alpha
. A priori, rien d’exceptionnel, mais le principe et l’efficacité de ce « moteur » m’a plutôt impressionné… Evidement, il n’a pas réponse à tout, mais quand même… Quand on tape « Dieu » (God anglais) on apprend que « god » est le 486ème mot le plus cité en anglais à l’écrit et le 273ème mot le plus cité à l’oral (un mot sur 3300) mais Wolfram ne nous dit pas qui il est et s’il existe…

Je me suis retrouvé un peu bête la première fois devant la barre de recherche, je ne savais pas quoi taper alors j’ai essayé simplement « helium » et le site m’a donné sa place dans le tableau périodique des éléments avec toutes les propriétés atomiques, chimiques, thermodynamiques et magnétiques de l’hélium avec ses isotopes de manière joliment présentée avec toutes les unités configurables, plutôt pas mal, mais bon, rien d’extraordinaire non plus (j’aurais été impressionné qu’il me donne la variation de chaleur spécifique en fonction de la température). J’ai également tenté « helium phase diagram » et il m’a fourni un beau diagramme de phase de l’hélium (nettement mieux que ceux qu’on trouve habituellement sur le web).

 

Le site se définit comme un moteur de calcul des connaissances (computational knowledge engine). En gros, c’est un peu une sorte de moteur de recherche comme Google mais Wolfram permet de calculer tout ce qui peut être calculé à propos de n’importe quoi, c’est le site qui le dit : make it possible to compute whatever can be computed about anything. Désolé, le site est uniquement en anglais pour l’instant.

Wolfram fournit un résultat unique comme une encyclopédie, contrairement à un moteur de recherche classique qui fournit une quantité impressionnante de sources où l’on peut souvent se perdre. L’idée est de faire une requête sur une question, quelle qu’elle soit et d’y répondre le mieux possible. Les questions peuvent être évidemment scientifiques mais pas seulement, Wolfram répond aussi à des questions de géographie, de musique, de sport, d’histoire, etc. Bref, c’est un peu comme un super Quid. La réponse est ensuite téléchargeable en format pdf.

Etant proche de la Suisse et aimant le gruyère, j’ai donc tenté de connaitre la densité du gruyère suisse, j’ai donc tapé « cheese gruyère density » et Wolfram m’a répondu sans ciller 0,92 g/cm3:

L’algorithme utilisé par Wolfram utilise pas moins de 5 millions de lignes de codes écrites en langage Mathematica pour ceux qui connaissent, sans commentaires…. Le tout est relié à une base de données qui contient (selon le site) environ 10 milliards d’entrées et plus de 50 000 types d’algorithmes et de modèles. J’ai également tenté de taper la ville où j’habite (Gex) et j’ai eu ma réponse :

Il y a également, toutes les possibilités de calcul de manière formelle comme dans Mathematica. J’ai tapé « cos(2x) + sin(x) + tan(x)^2 » et Wolfram m’a répondu pleins de choses, entre autres :

En revanche, des déceptions, je n’ai rien trouvé en tapant : superfluid helium, Euler flow et Théodulf (évêque d’Orléans pendant la Renaissance carolingienne).

 A vous de jouer maintenant en vous amusant un peu avec ce nouvel outil du web: http://www39.wolframalpha.com/

Les Probabilités et le Loto

La probabilité, voici une notion quotidienne qui n’est pas toujours bien
comprise par tous. Je vais donc essayer de vous dresser un petit aperçu de la fonction et des possibilités des probabilités ainsi que leur utilisation, en particulier pour le Loto.

Définition

Les probabilités permettent d’estimer la chance (ou le risque) qu’un événement se produise ou pas. Une des principales applications des probabilités sont les jeux de hasard comme le Loto. On quantifie une probabilité par un nombre entre 0 et 1 qui correspond au pourcentage de chance (ou de risque) que l’événement considéré ai lieu.
Exemple avec le jet d’un dé

Voici la démarche pour trouver la probabilite d’un
événement:

1)  Formuler l’événement qui va nous intéresser. Ex : « Un dé non pipé affiche un chiffre pair »

2) Lister toutes les possibilités de résultats. On énumère alors tous les cas possibles dans un ensemble que l’on appelle ‘Oméga’. Dans notre exemple: Ω = {1,2,3,4,5,6} et on dit que le cardinal de Oméga est égal à 6 car il contient 6 éléments.

3)  Dénombrer tous les cas favorables. Dans notre exemple, on vient lister tous les nombres pairs possibles dans un ensemble appelé A: A = {2,4,6} et on a donc le cardinal de A égal à 3.

4) Calculer la probabilité qui est égale au nombre de cas favorables, divisé par le nombre de cas possibles : p = card(A)/card(Ω) = 3/6 = 0,5 = 50%

 La probabilité d’obtenir un chiffre pair en tirant un dé donc de 50%.

Le dénombrement

Cet exemple peut paraître trivial mais il est important de comprendre cette mécanique pour calculer des probabilités plus complexes. La difficulté va ensuite venir du fait qu’il n’est pas toujours évident de dénombrer les possibilités d’un événement. Pour le jet d’un dé, on a 6 possibilités
faciles à lister mais on voit bien que l’on ne va pas pouvoir lister toutes les possibilités de tirages du Loto car cela prendrait trop de temps.

Il existe une discipline des mathématiques qui s’appelle l’analyse combinatoire (l’étude des combinaisons) qui s’occupe justement de résoudre les problèmes de dénombrement. Voici les 4 principaux dénombrements à retenir :

1) Le nombre de possibilités d’ordonner ‘n’ éléments discernables est égal à:
1*2*3*4…*n = n ! (prononcer ‘factoriel n’). Ex : Possibilité de ranger 4 tasses différentes : 4 !=1*2*3*4 = 24 façons :

 



2) Le nombre de possibilités d’ordonner ‘n‘ éléments  avec ‘n1‘ éléments identiques, ‘n2‘ éléments identiques, etc.. est égal à :

Ex : Le nombre de possibilité d’ordonner 4 tasses avec 2 tasses rouges et 2 tasses bleues : 4! / (2! * 2!) = 24/4=6 possibilités :



3) Le nombre de possibilités d’arranger ‘k‘ éléments parmi ‘n‘ en tenant compte de l’ordre :


Ex : Nombre de possibilités d’arranger 2 tasses parmi 4 tasses en tenant compte de l’ordre : 4 !/ (4-2) ! = 24/2 = 12 possibilités :




4) Le nombre de combinaisons de ‘k‘ éléments parmi ‘n‘ sans tenir compte de
l’ordre:

Ex : Le nombre de combinaisons de 2 tasses parmi 4 sans tenir compte de l’ordre est : 4 !/(2 !* 2 !) =24/(2*2) = 6 combinaisons:



Le Loto
Au loto, on choisit 6 numéros parmi une grille de 49 numéros et on ne tient pas compte de l’ordre de sortie des numéros. Dans ce cas, le nombre de grilles possible est :


Si un joueur joue 1 seule grille, la probabilité d’avoir les 6 bons numéros est donc
d’une chance sur 14 millions environ, soit  0,000007 % de chance d’empocher le Jackpot.

En jouant depuis vos 18 ans jusqu’à vos 98 ans, soit pendant 80 ans, à raison de 2 tirages par semaines, vous avez donc joué 8 348 tirages au total. L’évènement qui nous intéresse maintenant est :

« Avoir au moins une bonne grille de Loto sur 8348 tirages»

Pour retranscrire le « au moins une bonne grille« , nous allons calculer la probabilité inverse, c’est à dire :

« Avoir 8348 mauvaises grilles de Loto sur 8348 tirages»

Premièrement, on cherche le nombre de « mauvaises » grilles, la réponse est simplement le nombre de grilles  possibles moins la bonne grille (la bonne combinaison),  c’est à dire 13983816-1. La probabilité de perdre à un tirage est donc de :

Si on effectue 8348 tirages, les probabilités se multiplient et on obtient ainsi comme probabilité de perdre pendant 90 ans :

Maintenant, nous revenons au probleme initial et on cherche la probabilité
inverse, c’est à dire la probabilité de gagner au moins une fois sur 90 ans, on obtient alors:



Conclusion : En jouant toute votre vie, vous avez une chance sur 1 676 de gagner le gros lot donc mieux vaut bosser comme tout le monde et ne pas jouer au Loto. Cependant, les 8 348 tirages ont coûté « seulement » 5 000 euros et le retour sur investissement est donc bien meilleur par rapport à la bourse mais les chances de gagner sont nettement plus faibles !

L’Euro Millions
A l’Euro Million, le joueur choisit 5 numéros entre 1 et 50 et 2 numéros (appelés étoiles) entre 1 et 9 sans tenir compte de l’ordre. Le nombre de combinaisons possibles est donc de :


La probabilité d’obtenir les 5 bons numéros et les 2 bonnes étoiles est donc de
0,00000131%, soit environ 1 chance sur 76 millions : cinq fois moins qu’au Loto !

Carl Friedrich Gauss

J’ai lu récemment Les Arpenteurs du Monde, de Daniel Kehlmann , un écrivain allemand qui retrace de manière romancée la vie de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), un des plus grands mathématiciens de tous les temps et de Alexander von Humboldt (1769-1859), un grand explorateur ayant fait de nombreuses découvertes en Amérique du sud.

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 Ce livre est un roman et non une biographie mais il s’inspire largement de nombreux faits réels sur la vie de ces deux génies allemands. J’ai entièrement redécouvert Gauss dont je ne connaissais que le nom et les théorèmes.

Ce génie n’a pas volé son surnom de « prince des mathématiques ». Issu d’une famille très modeste il a révélé très tôt des capacités intellectuelles extraordinaires. Il apprend à lire et à compter tout seul à l’age de trois ans et résout des problèmes par récurrence de manière spontanée a l’école primaire. Il redécouvre ensuite, seul, un grand nombre de théorèmes puis découvre de nouveaux théorèmes géométriques importants sur les polygones. Il formule également la méthode des moindres carrés, une méthode qui est très couramment utilisée de nos jours en science de l’ingénieur pour adapter des mesures pratiques à un modèle mathématique en minimisant le carré des erreurs entre pratique et théorie. Il formule également une conjoncture sur la répartition des nombres premiers qui sera démontrée plus d’un siècle après. Tous ces travaux furent effectués avant ses 18 ans !

 A 24 ans (c’est à dire à mon age), il publie une « bible de l’arithmétique », les Disquisitiones arithmeticae, qui constituent dès lors une référence mondiale sur la théorie des nombres. Il s’orienta ensuite dans l’astronomie où il fit de nombreuses découvertes, particulièrement sur le mouvement des corps célestes.

Il aurait également découvert de nombreuses choses sur les géométries non-euclidiennes mais ne publia jamais ses travaux de peur de passé pour un fou à cette époque. On entend par géométrie non-euclidienne les géométries qui ne se basent pas sur un espace plan à 2 dimensions mais sur un espace courbé. Dans de telles géométries, la somme des angles d’un triangle ne font pas 180° et 2 droites parallèles peuvent se couper. Ce sont ces géométries, extrêmement étudiées par Poincaré, qui permirent le développement de la théorie de la relativité au début du 20ième siècle où l’espace est considéré non plus plan mais courbe.

Il eut de nombreux élèves mais tous médiocres selon ses dires, il y en avait un qui était un peu moins mauvais que les autres, il s’appelait Wilhem Weber et découvrirent ensemble de nouvelles lois sur le magnétisme. Il y a également la découverte du théorème de Gauss en magnétostatique. D’ailleurs, aujourd’hui un flux magnétique se mesure en Weber (Wb) et un champ magnétique se mesure en Gauss (G). Il est important de souligner que toute la théorie de l’électromagnétisme est basée sur ce que l’on appelle les 4 équations de Maxwell, et que 2 de ces 4 équations sont de Gauss !

 Il eut également comme élève Bernhard Riemann, qui révolutionna l’analyse moderne et la géométrie différentielle, les élèves de classes préparatoires le connaissent bien !

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La chose pour laquelle il est peut être les plus connu c’est la fameuse « courbe de Gauss » en forme de cloche qui permet de représenter une loi Normale en statistique.

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Bref c’est un homme qui n’en est pas un tellement il a modifié la vision du monde et des mathématiques de son époque. Sa vie sentimentale fût un désastre et  c’était un personnage apparemment ignoble qui méprisait tout son entourage et ne voulait jamais sortir de chez lui. Si vous en avez l’occasion, lisez Les Arpenteurs du Monde, c’est un libre magnifique.

¿ Pourquoi le monde est-il mathématique ?

Premièrement, je ne sais pas si le monde est mathématique… On peut déjà constater que la nature adopte un comportement continue et non discret à première vue bien que dans les théories quantiques il y ait des choses discrètes mais je m’arrêterai à l’observation macroscopique des choses et ne rentrerai pas dans le microscopique qui a tendance à défier notre entendement. Pour ceux qui ne connaissent pas la définition d’un événement discret, et bien c’est le contraire de continue. Le continue c’est notre expérience quotidienne : quand une pomme tombe d’un arbre, elle passe par une infinité de positions avant de toucher le sol, il y a toujours une position entre 2 positions, c’est comme les nombres réels, il y a toujours un nombre entre deux nombres, aussi petit soit l’espace entre les 2 nombres. Alors que pour un événement discret il peut rien n’y avoir entre 2 instants. Par exemple pour une voiture, la position et sa vitesse (qui sont des grandeurs physiques) sont continues mais le numéro de la vitesse engagée dans la boite de vitesse (qui lui a été inventé de tt pièce par l’homme) est discret (1ère, 2nde ….).

On peut donc déjà se dire : c’est pas un ordinateur ou une machine qui nous gouverne et dirige le monde (ordinateur au sens numérique) car tout ce qui rentre ou qui sort d’un ordinateur, c’est discret, ce sont des ‘0’ et des ‘1’. Ca me rassure un peu d’être à peu près sûr de cela… On peut donc dire que le monde n’est pas Numérique ! On peut l’estimer à travers des lois numériques et des ordinateurs avec très peu d’erreurs mais ce n’est pas exact. Les mathématiques quant à elle peuvent être discrètes et continues. C’est déjà un point favorable pour dire que le monde peut être mathématique.

Avant une telle affirmation, il faut déjà savoir si les Mathématiques se « tiennent » par elles-mêmes. Je le pense, si le monde n’existait pas, les mathématiques resteraient vraies si on conserve les axiomes de bases et les définitions. Un axiome est une proposition avec des mots ou des équations qu’on ne démontre pas et que l’on qualifie de « vraie » tant qu’un contre-exemple n’a pas été trouvé. Exemple d’axiome mathématique en géométrie : «  dans un plan euclidien le tracé le plus court reliant 2 points est une droite ». Il y en a très peu, qui relèvent souvent du sens commun et c’est pour cela que les mathématiques sont fortes. Euclide a d’ailleurs été le premier vrai « axiomateur » des mathématiques (III av JC)  explicitant sa théorie géométrique avec le minimum d’axiomes possibles. Evidemment si on prenait comme axiome : « Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire nommé ‘|’ alors (x|y)&sup2; < (x|x).(y|y) et cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont proportionnels. », ça serait moins flagrant comme preuve… Au passage, l’assertion précédente s’appelle l’inégalité de Cauchy-Schwartz et ce n’est pas un axiome mais une proposition que l’on peut démontrer (moins de 10 lignes) grâce à d’autres propositions,  axiomes et théorèmes… Voilà donc, selon moi, pourquoi les mathématiques existent de manière indépendante… Il y a d’ailleurs de nos jours de nouveaux axiomes pour formaliser de nouvelles théories. Une des dernières grandes axiomatisations a été faite pour la théorie des probabilités en 1933 par A.Kolmogorov. Après : est-ce que les mathématiques, mises au service de la physique peuvent rendre compte de la réalité ? Oui certainement mais il faut définir un cadre…

Il y a un autre problème, qui lui, me dérange énormément, ce sont les constantes physiques. Les constantes mathématiques du style π j’arrive maintenant à comprendre à peu près leur réalité et d’où elles sortent mais alors les constantes physiques… NON. Pourquoi la vitesse de la lumière dans le vide c’est 299 792,458 km/s. Il n’y a pas de formule pour calculer cela, ça se mesure, comme toutes les constantes, et d’ailleurs, une mesure, ce n’est jamais juste! Ne serait-ce que par le fait qu’une mesure fournie par un instrument de mesure donne toujours un nombre rationnel et donc si la « vraie » valeur de la constante est un nombre irrationnel ou transcendant et bien ce n’est pas possible (la preuve par exemple est que π ne se mesure pas mais se calcule par approximation). De plus, on remarquera qu’aucune constante ne tombe sur un chiffre rond. Exemple :G=6,67259 10-11 m3/kg/s&sup2; ; k = 1,3005 10-23 J/K ; h=6,625 10-34 J.s ; 1 eV=1,602 10-19 J. Quant à d’autres constantes comme la constante d’Hubble (pourtant célèbre) elle se situe entre 70 et 100 km/s/Mpc. C’est à n’y rien comprendre. Surtout que ces constantes reviennent dans presque toutes les équations physiques ! Enfin il y a d’autres règles physiques qui elles, sont la réalité. Par exemple quand on dérive la position d’un objet en mouvement on obtient sa vitesse et si on redérive on obtient son accélération. Ensuite, vu les réelles preuves de la physique, confirmées par les observations, les formules utilisant ces constantes reflètent sans doute la réalité mais ne peuvent jamais être calculées exactement à cause de la valeur de la constante qui elle, n’est pas exacte.

Nous avons besoin de mesures de référence, d’unités, mais toutes celles-ci sont arbitraires. Certes, on ne compte plus en pieds et en pouces (enfin sauf les anglo-saxons comme d’habitude), mais il y a encore des étalons fabriqués par l’homme et donc non exacts et complètement arbitraires qui servent de références. Exemple : «Le kilogramme (kg) est la masse du prototype en platine iridié déposé au Pavillon de Breteuil à Sèvres». Mais beaucoup d’unités correspondent à une réalité physique du genre « Le kelvin (K), unité de température thermodynamique, est défini en assignant la valeur 273,16 K à la température thermodynamique du point triple de l’eau » ou encore la mole en chimie qui est définie comme la «quantité de matière d’un système contenant autant d’entités élémentaires qu’il y a d’atomes dans 0,012 kg de carbone 12». Mais après, toutes les définitions d’unité dépendent d’autres unités ou des fameuses constantes (c’est le monde à l’envers, la constante définit la mesure), le meilleur exemple étant la nouvelle définition du mètre adoptée en 1983 : le mètre est «la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde» en gros, on fixe la vitesse de la lumière à c  = 299 792 458 m/s exactement par cette définition ce qui est faux dans l’absolu ! Bref on s’y perd, la réalité du monde est plus compliquée que ce que l’on pourrait penser… 

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Partager l’article : ¿ Pourquoi le monde est-il mathématique ?
 
Premièrement, je ne sais pas si le monde est mathématique… On peut déjà constater que la nature adopte un comportement…