Archives pour l'étiquette mécanique

La résonance

Le phénomène de résonance est présent dans de nombreux domaines de la physique et est utilisé dans de très nombreuses applications, de la balançoire aux accélérateurs de particules. Parfois embêtant, il peut aussi s’avérer fort utile, voire indispensable.

Un peu d’étymologie pour commencer. On a tendance à associer la résonance au domaine de l’acoustique dans le langage courant signifiant « prolongation de la durée d’un son » depuis le 14ème siècle mais cette définition n’est plus d’actualité puisque la résonance peut s’étendre à tous les phénomènes ondulatoires dans lesquels une onde peut se propager et induire une vibration. En dehors des ondes acoustiques, on peut citer les ondes sur cordes vibrantes, les ondes sismiques, les vagues ou encore les ondes électromagnétiques comme la lumière ou la radio.

Si on s’intéresse aux ondes mécaniques, toute structure possède des fréquences propres, c’est-à-dire des fréquences auxquelles une structure mécanique peut vibrer si on excite cette fréquence particulière. Le meilleur exemple est sans doute la balançoire : en tendant les jambes à un moment bien précis, on donne une impulsion de manière répétée à intervalle régulier (à une fréquence constante), induisant une oscillation. Dans le cas de la balançoire, les équations de la mécanique nous permettent de calculer précisément la fréquence de résonnance (ou d’un pendule simple), qui est fonction de l’amplitude du mouvement.

Les résonances néfastes

Toutes les constructions, comme les ponts, possèdent donc une fréquence propre qui peut être amplifiée si on l’excite suffisamment, c’est-à-dire si on applique une force suffisante dans la bonne direction et à la bonne fréquence, avec des rafales de vents périodiques par exemple ou des soldats qui marchent au pas. Un pont peut ainsi entrer en résonance, provoquant de fortes oscillations jusqu’à son effondrement ! On peut mentionner le cas du pont suspendu de la Basse-Chaîne sur la Maine à Angers qui s’effondra en 1850 suite au passage de militaires marchant au pas (les 226 soldats perdirent la vie). Cependant, l’origine exacte de l’effondrement du pont de la Basse-Chaîne fait toujours débat car une tempête sévissait ce jour-là et le règlement militaire exigeait déjà à cette époque de ne pas marcher au pas sur les ponts…

La rupture du pont de la Basse-Chaîne à Angers en 1850.

On mentionne aussi souvent l’histoire du pont de Tacoma (USA) en 1940 qui serait entré également en résonance suite à des rafales de vent. Cependant, plusieurs études scientifiques ont montré que ce pont ne s’est pas écroulé à cause du phénomène de résonance mais à cause d’une instabilité aéroélastique de torsion engendrée par le vent, voir la vidéo impressionnante de cette catastrophe (le pont a oscillé pendant plus d’une heure avant de s’effondrer) : https://www.youtube.com/watch?v=Rmfl2kFeNPM

En automobile également, nombreuses sont les résonances qui peuvent nous agacer. Vous roulez sur l’autoroute à faible vitesse et tout va bien… Vous décidez alors d’accélérer et là, tout à coup, un bourdonnement survient et persiste, vous accélérez encore et le bruit disparait : vous venez de faire entrer en résonance une partie de votre voiture (carrosserie, pneumatique, etc.), liée à la fréquence de rotation du moteur ou des roues, qui est proportionnelle à la vitesse du véhicule. Pour cette raison les pneumatiques sont désormais équipés de motifs non périodiques (i.e. qui ne se répètent pas parfaitement) pour éviter tout phénomène de résonance au niveau des pneus. Les amortisseurs des automobiles sont également conçus pour avoir des fréquences de résonance qui ont le moins d’impact possible sur le corps humain, moyennant sinon une gêne importante, voire un mal des transports. Comme le mentionne A. Létévé dans sa thèse, « Il s’avère que la plage de fréquence de 0 à 20 Hz dans laquelle le corps humain est extrêmement sensible aux vibrations verticales correspond à la plage de fonctionnement de la suspension ». Il y a clairement des fréquences à éviter pour le corps humain, comme entre 4 Hz et 11 Hz qui entrainent des douleurs similaires à celle d’un infarctus (le cœur a une fréquence de résonance de 7 Hz).

Décomposition du corps humain en systèmes masses ressorts amortisseurs avec les fréquences de résonance de chaque partie. Extrait de la thèse de Aurore Létévé (2014).

Les résonances vertueuses

En musique

La première résonance à laquelle on pense est bien entendu en musique. En effet, les instruments à cordes et à vent ainsi que les percussions exploitent le phénomène de résonance pour former des notes bien précises et pouvoir ainsi jouer un morceau de musique. Sans résonance, pas de musique…

Les instruments à cordes possèdent plusieurs fréquences de résonance qui dépendent de la longueur, de la masse et de la tension de chaque corde. C’est pour cette raison qu’on accorde la plupart de ces instruments en réglant la tension de chaque corde pour obtenir la résonance à la fréquence/note voulue (la masse et la longueur étant constantes). Cette résonance se produit sur l’onde mécanique qui se propage le long de la corde lorsque cette dernière est excitée par une impulsion qui en théorie contient toutes les fréquences. La corde produit alors un son contenant uniquement les fréquences de résonance de la corde (appelées fréquences propres) car toutes les autres fréquences sont rapidement atténuées et disparaissent sans pouvoir être entendues et amplifiées par le corps de l’instrument. L’impulsion initiale est générée par le musicien soit par un pincement (guitare, harpe…), soit par un coup (piano, clavecin…), soit par un frottement avec un archer (violon, violoncelle…). Pour information, la physique des cordes vibrantes est modélisée une équation aux dérivées partielles qui fut resolue par d’Alembert en 1747 et qui s’étudie généralement dans les classes préparatoires scientifiques.

L’équation des ondes qui modélise la propagation d’une onde dans un milieu continu et infini.

En imagerie médicale

Le phénomène de résonance est la clef de voute d’une technique d’imagerie médicale que vous connaissez : l’IRM (Imagerie par Résonance Magnétique). Ici, la résonance n’est pas mécanique comme dans le cas de la balançoire ou des ponts mais magnétique. Un champ magnétique constant est appliqué sur le patient ainsi qu’un champ oscillant pour exciter les spins des atomes du corps humain (propriété quantique des atomes) et les faire entrer en résonance pour les détecter et fabriquer une image, c’est ce qu’on appelle la résonance magnétique nucléaire, voir mon article précédent de la RMN à l’IRM.

En physique des hautes énergies

Une autre application moins connue du grand public est l’accélération des particules à hautes énergies avec des cavités radiofréquences (RF). Pour accélérer des particules chargées, on utilise un champ électrique (les particules positives/négatives sont accélérées par une tension électrique opposée à leur charge). On peut alors utiliser le phénomène de résonance pour améliorer cette accélération en donnant une petite impulsion aux particules à une fréquence précise. Pour induire cette résonance, une onde électromagnétique est envoyée dans une cavité ayant une forme bien particulière permettant la résonance des ondes à la fréquence propre de la cavité, de l’ordre de la centaine de MHz, c’est-à-dire dans la gamme des fréquences radio (d’où le nom de cavités RF). Les cavités sont agencées en série pour accélérer les particules en ligne droite et le champ électrique est alors inversé quand les particules passent au centre d’une cavité de telle manière à ce que les particules « voient » toujours une tension opposée à leur charge pour être accélérées de proche en proche continuellement. Je vous conseille de voir cette petite vidéo du CERN (Organisation Européenne pour la Recherche Nucléaire) sur le fonctionnement des cavités RF du LHC qui illustre bien le phénomène:  https://videos.cern.ch/record/1750705

Un des modules DTL du Linac 4 en train d’être assemblé au CERN (Image: Maximilien Brice/CERN). On peut voir les cavités RF au centre du module entre lesquelles les particules sont accélérées.

Newton : calcul différentiel, gravité et optique

Voici un livre que je préconise à tout amateur d’Histoire des sciences : Isaac Newton, un destin fabuleux, de James Gleick aux éditions Quai des Sciences.

Cette biographie de l’illustre Newton nous replonge dans l’Angleterre du milieu du 17ème siècle encore moyenâgeuse où un homme d’origine modeste et destiné à être fermier dans la campagne environnante de Cambridge a révolutionné la Science. De mon point de vue, Newton a révolutionné les sciences dans le sens où c’est lui qui a séparé science et philosophie en deux approches bien distinctes, l’une basée sur la démonstration mathématique et l’autre basée sur la pensée et la réflexion. Newton fut certainement le dernier à cumuler les rôles de magicien, alchimiste, philosophe, métaphysicien, théologien, mathématicien et physicien. Après Newton, ce fut le siècle des lumières avec ses philosophes d’un coté  (Diderot, Rousseau, Voltaire, etc.) et ses scientifiques de l’autre (Euler, Bernoulli, Laplace, Lavoisier, etc.).

Dans ce billet, je veux simplement aborder brièvement les 3 principales avancées dues à Newton dans les sciences, à savoir le calcul différentiel, la mécanique et l’optique mais il faut souligner que Newton a passé une très grande partie de sa vie (et sûrement la plus grande partie de sa vie) à étudier l’alchimie ainsi que les différentes versions de la bible pour en retrouver les origines fondamentales.

Les Principia MathEmatica

La rédaction de son œuvre majeure et publiée pour la première fois en 1687 à Londres sont les Principes mathématiques de la philosophie naturelle (plus communément appelées Principia Mathematica). Ces Principia Mathematica abordent un grand nombre de sujets dont la célèbre théorie mécanique de Newton, en incorporant la théorie de la gravité universelle. Ces volumes furent réellement le point de départ de la physique moderne en se basant sur l’explication des phénomènes naturels par leurs mises en équations mathématiques, sans en expliquer leur origine métaphysique ou leur cause, c‘est ce que nous appelons aujourd’hui la Physique.

Première édition des Principia Mathematica avec les annotations manuscrites de Newton conservée à la bibliothèque Wren de Cambridge (1687)

Les Principia Mathematica ont été au début très peu diffusés en dehors de l’Angleterre (une centaine d’éditions seulement avaient été éditées) et il a fallu attendre le milieu du 18ème siècle pour avoir accès à ces 3 volumes fondateurs dans le reste de l’Europe comme par exemple avec la traduction française fameuse de Emilie du Châtelet en 1756 (Miss « Pompon Newton » selon Voltaire). J’ai moi-même eu la chance de tenir entre mes mains et de consulter une édition des Principia Mathematica de 1740 conservée à l’université de Valladolid en Espagne à la bibliothèque historique de Santa Cruz. Avec cette publication, Newton devint un des pères fondateurs de la physique, provoquant une rupture avec la Grèce antique d’Aristote et le cartésianisme de Descartes qui prévalaient alors comme références incontestables jusqu’à Newton.

Le calcul infinitésimal

Au milieu du 17ème siècle, les mathématiciens ne savaient guère appréhender les infinis, grands ou petits. Newton s’attaque à ce problème lors de la grande peste de Londres qui fait rage en Angleterre en 1665-1666 et aboutit à une méthode du calcul infinitésimal vers 1669. Malheureusement, il préfère ne pas publier ses résultats. Ce nouveau mode de calcul permet à Newton de calculer la pente (la tangente) de n’importe quelle courbe ainsi que son aire. C’est ce qu’on appelle aujourd’hui le calcul différentiel et intégral. Ces mêmes opérateurs permettront à Newton d’établir les relations nécessaires entre position, vitesse et accélération en mécanique (à moins que ce ne soit la mécanique qui l’ait amené à trouver le calcul différentiel). Il introduit alors la notation de la dérivée à l’aide d’un point au dessus des lettres (notation encore parfois utilisée).

Au même moment, en Allemagne, Leibniz invente également en 1674 et de manière indépendante le calcul différentiel à la différence qu’il mettra en place un système de notation extrêmement ingénieux et qui est toujours utilisé aujourd’hui : il notera la dérivée avec un « d » droit ou un Delta grec pour représenter une différence infiniment petite et le « S » allongée pour l’intégrale. Une bataille entre Newton et Leibniz fera alors rage pour revendiquer cet outil mathématique extrêmement puissant et constituant la base de l’analyse (la discipline mathématiques étudiant les fonctions).

Mécanique

La mécanique newtonienne est aujourd’hui la théorie mécanique la plus utilisée pour les problèmes courants des ingénieurs permettant de calculer les trajectoires, les vitesses et les accélérations lorsque les vitesses mises en jeu sont faibles devant la vitesse de la lumière (après c’est la relativité d’Einstein qui prend le relais).

Le centre de la mécanique développée par Newton est bien entendu la théorie de la gravitation universelle. Elle est qualifiée d’universelle car elle s’applique à tous les objets ayant une masse, du grain de sable au Soleil en passant par les pommes et la Lune: elle explique la trajectoire des boulets de canons, la rotation des planètes autour du Soleil et le mouvement des marées sur Terre à cause de la Lune.

Newton par Noémie

Newton comprend pour la première fois que plus la masse est grande, plus l’attraction est forte et qu’il est bien question d’attraction et non de pulsion comme il était alors question à l’époque. Newton révoque irrémédiablement la théorie de l’éther et des tourbillons de Descartes et clame que cette force d’attraction se propage dans le vide, ce qui déplaît fortement à l’époque. De plus, Newton ne donne pas d’explication de cette force mystérieuse qui s’exerce à distance (en passant, la transmission de la gravité est toujours un mystère et demeure la force la moins bien comprise). Newton identifie également que cette force est inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare les objets et retrouve les conjectures de Kepler par le calcul comme quoi les planètes décrivent une trajectoire elliptiques autour du Soleil. Il effectue même des corrections aux trajectoires de Kepler et permet à Edmond Halley en 1682 d’annoncer le prochain passage d’une comète en 1738 (soit 76 ans plus tard) qui deviendra la comète de Halley, la théorie de Newton sera alors à son paroxysme et fera l’unanimité sur le continent.

Optique

Newton était attaché à une théorie atomique de la lumière, à l’inverse de Huygens qui défendait une théorie ondulatoire (ils avaient en fait tous les deux raison selon la théorie quantique). La théorie défendue par Newton lui vaudra de nombreux débats et controverses à l’Académie Royale de Londres mais Newton fut le premier à comprendre que la lumière blanche était en fait une composition de toutes les couleurs de l’arc-en-ciel puisqu’en passant dans un prisme, la lumière blanche se décomposait en des pinceaux de lumière de différentes couleurs et qu’il était alors impossible d’en extraire de la lumière blanche à nouveau (on pensait alors que c’est le prisme qui fabriquait les autres couleurs).

Fort de cette théorie, Newton pensait que les télescopes de l’époque utilisant des lentilles (lunettes de Galilée) étaient limités du fait que les couleurs n’étaient pas déviées de la même façon dans les lentilles incurvées. Il inventa alors un nouveau télescope, qualifié de Newton aujourd’hui, utilisant un miroir courbe et permettant un grossissement identique avec un télescope beaucoup plus compact qu’avec les lunettes de Galilée.

 

Un télescope Newton monté sur une monture équatoriale

Pour conclure

Je citerai simplement cette épitaphe et Alexander Pope (1730) pour conclure ce billet :

La Nature et ses lois
Restaient cachées dans la nuit
Et Dieu dit « Que Newton soit ! »
Et alors tout s’éclaircit.