La beauté des équations en physique

Certains vous dirons que la physique est ennuyeuse, d’autres qu’elle est compliquée ou encore difficile d’accès alors que les physiciens vous diront qu’elle est une science noble et que la physique  produit de « belles » équations. La beauté d’une équation ? Oui, parfaitement, une équation peut être esthétique. Cette beauté des équations peut revêtir à mon sens 2 traits distincts :

• La beauté visuelle : elle est belle à regarder.
• La beauté du sens : elle exprime une quantité d’informations extraordinaires avec un minimalisme et une exactitude mathématique.

A quand les musées d’équations ?

La beauté visuelle

Si une équation est belle esthétiquement, c’est d’abord parce que la physique utilise de nombreux signes différents, parfois inconnus du grand public. De plus, tous ces chiffres, lettres et signes étranges se côtoient les uns à côté des autres  sans logique apparente pour les non-initiés et c’est sans doute cet agencement un peu magique qui peut rendre une équation « belle ».

Une équation physique peut bien entendu contenir des chiffres arabes (0,1, 2, 3,…) pour définir une valeur, ainsi que des lettres pour définir une quantité physique (la masse, la vitesse, etc.).

Ces lettres, majuscules ou minuscules, peuvent être soit latines (a, b, c, d…) en caractère d’imprimerie ou en écriture cursive, soit grecques, ce qui apporte pour nous autres français une première touche d’exotisme dans les équations. Au total, ça nous fait déjà 166 caractères possibles pour nos équations !

Alphabet grec majuscule et minuscule. Toutes les lettres sont utilisées en physique et certaines lettres ont pratiquement toujours la même signification. Par exemple lambda représente toujours une Longueur d’onde ou une conductivité thermique en thermodynamique.

 Le troisième type de caractère que l’on peut rencontrer en plus des chiffres et des lettres est le plus intéressant car sans doute le plus inaccessible et le plus puissant, à savoir les opérateurs mathématiques (en dehors des quatre opérateurs arithmétiques de base pour l’addition, la soustraction, la multiplication et la division). Ces opérateurs permettent de réaliser des calculs répétitifs (voir rébarbatifs) entre les lettres et les chiffres de manière à simplifier les écritures et éviter d’avoir des équations de 10 kilomètres de long !  Citons-en quelques-uns :

• La somme, grande et majestueuse, est un sigma grec majuscule. Elle permet l’addition de nombreux termes dans une écriture compacte.
• L’intégrale, avec sa belle courbe de chat, permet de sommer une infinité de quantité.
• Nabla, qui n’est autre que le delta grec majuscule inversé, permet de simplifier la notation des équations aux dérivés partielles et d’économiser beaucoup de papier et d’encre.
• Le Bra-Ket en physique quantique permet de simplifier grandement les équations utilisant des états quantiques.

 

 En plus de toutes ces « belles » lettres et symboles, le physicien possède toute une panoplie de petits signes supplémentaires pour surcharger les lettres. Au-dessus, on peut ajouter des flèches (les vecteurs), des points (les dérivés), des accents circonflexes (une estimation), ou bien des barres (un opposé). Autour, les lettres peuvent s’encadrer entre des barres verticales simples ou doubles (modules), entre des crochets, ou encore entre des accolades ou des parenthèses. Et puis évidemment, on a tous les indices et exposants à notre disposition pour continuer notre décoration.

Bref, tout un attirail pour faire de jolies choses, où les styles peuvent aller du minimalisme au rococo en passant par le baroque…

 La beauté du sens

En plus de l’esthétique, il y a bien sûr le « sens » d’une équation et surtout ses conséquences, tant sur le plan métaphysique que pratique. Le physicien trouve souvent une équation « belle » si avec peu de termes il peut en découler une théorie toute entière.

C’est par exemple ce qui fait la célébrité du fameux E=mc² : seulement 5 caractères, chaque terme est facilement exprimable avec des mots communs (énergie, masse et vitesse de la lumière) et les conséquences sont énormes car cette équation signifie que masse et énergie sont équivalentes et que la masse inerte contient une énergie gigantesque. Sur le plan pratique, cette équation permet de penser à de nouvelles sources d’énergie pour l’humanité (centrales nucléaires) mais aussi malheureusement à des sources colossales de destruction (bombe atomique, bombe hydrogène).

Mais le physicien qualifie aussi parfois des équations compliquées de « belles » car il est parvenu à en percer le sens et à s’approprier chaque terme et chaque relation entre les grandeurs, et ceci a un petit côté magique. C’est le moment où on arrive à comprendre une équation, à en saisir le sens profond et tout d’un coup, une vulgaire équation devient belle…

Il faut aussi savoir qu’une équation possède toujours un domaine de validité, c’est-à-dire un contexte physique dans lequel l’équation est vraie. En dehors de ce domaine, l’équation ne marche plus. Par exemple, la loi universelle de la gravitation établie par Isaac Newton en 1684 n’est pas universelle contrairement à son intitulée, elle est valide uniquement si la vitesse relative des corps est très inférieure à la vitesse de la lumière ((v/c)² << 1). En effet, depuis 1915, la relativité générale d’Einstein explique la gravité dans toutes les situations observées jusqu’à aujourd’hui et possède donc à l’heure actuelle un domaine de validité infini (mais qui sera peut-être un jour réduit). On peut conclure que l’équation de la relativité générale est belle car elle s’applique en toutes circonstances mais elle est très difficile d’accès pour ce qui est d’en saisir le sens profond, alors que la loi universelle de la gravitation de Newton est belle car très simple à comprendre mais elle n’est pas toujours valide.

 Newton contre Einstein : 2 équations expliquant la gravité. Quelle est la plus belle ? La plus simple à saisir ou celle ayant le plus grand domaine de validité ?

 Les 4 équations que j’aime bien

Voici 4 équations que j’aime bien et que je trouve belles. Je vous les présente par ordre chronologique ci-dessous.

L’équation de bilan d’énergie d’un fluide newtonien en mouvement dans l’approximation des milieux continus est décrite par la 3eme équation de Navier-Stokes (1845). Un million de dollars sera offert par l’institut Clay à celui qui trouve la solution générale. Je l’aime bien car je l’ai utilisée dans ma thèse et j’ai pas mal travaillé dessus : je la trouve donc tout simplement belle…

L’équation de Maxwell-Faraday (1865) est une des 4 équations de Maxwell qui décrivent l’interaction électromagnétique et donc tous les phénomènes lumineux. Cette équation nous dit notamment qu’une variation du champ magnétique dans le temps permet d’induire un champ électrique dans l’espace et donc un éventuel courant dans un câble. Toutes les génératrices électriques comme les dynamos de vélo utilisent cette équation. J’ai représenté ici la même équation sous sa forme locale (dérivée) et sous sa forme intégrale que certains trouveront plus « esthétique ».

Le principe d’incertitude d’Heisenberg (1927). Celle-ci je l’aime bien pour son style minimaliste et parce qu’elle est simple à comprendre (même si en détail, ce n’est pas aussi simple) : le produit des « erreurs » de mesure sur la position (sigma x) et sur le moment (sigma p) d’une particule est toujours supérieur à une valeur constante  qui dépend de la constante de Planck (h). Autrement dit, il est impossible de bien connaitre la position et la vitesse d’une particule en même temps, plus on connait bien l’un, moins on connait l’autre. C’est un des piliers de la physique quantique. Le lagrangien du modèle standard de la physique des particules (1974). Cette équation résume en gros notre monde et ses interactions sans la gravité (force électromagnétique, force forte et force faible). Elle est en quelque sorte l’aboutissement de la physique du 20ème siècle et les expériences se poursuivent dans les accélérateurs de particules du monde entier pour conforter ce modèle qui n’a jamais vraiment été mis en défaut jusqu’à aujourd’hui. La dernière grande validation de ce modèle a été la prédiction et la découverte du boson de Higgs au CERN en 2012.

Écrire les équations à la main

Je n’ai pas une belle écriture, on peut même dire que mon écriture est exécrable (d’ailleurs quand j ’étais étudiant personne ne voulait de mes cours car c’était illisible) mais j’aime bien écrire quand même pour moi-même, et j’aime encore plus écrire des équations à la main ! C’est d’ailleurs intéressant de noter que pour des questions de rapidité, certains signes sont par convention toujours « écorchés » à la main comme les flèches des vecteurs qu’on ne trace généralement qu’à moitié.

Voici le résultat ci-dessous avec mes équations préférées citées plus haut (équations écrites avec un feutre-pinceau japonais volé à ma femme) :

Signification des lettres grecques

Un dernier petit paragraphe sur les significations usuelles des lettres grecques en physique, évidemment ce n’est pas exhaustif et j’ai mis simplement les significations que je connais.

• alpha. Etant la première lettre de l’alphabet, alpha s’emploie à peu près pour tout et n’importe quoi, même si souvent elle représente un facteur adimensionnel. On l’utilise aussi pour désigner la constante de structure fine qui régit la force électromagnétique.
• bêta. S’emploie aussi très souvent. Signalons peut être juste qu’en relativité restreinte, bêta représente la vitesse réduite d’un objet, c’est-à-dire le rapport entre la vitesse d’un objet et la vitesse de la lumière.
•  gamma. Représente les photons en physique des particules, les rayons gamma en électromagnétisme et le facteur de Lorentz en relativité restreinte.
• delta. Généralement utilisé pour représenter une petite grandeur. Le delta minuscule est aussi utilisé comme un opérateur pour représenter la variation infinitésimale d’une grandeur.
• epsilon. Représente une constante positive arbitrairement petite ou une erreur. Symbolise aussi la permittivité électrique.
•  zêta : peu utilisé.
• êta. Représente souvent un rendement. Permet aussi de dénoter la viscosité dynamique en mécanique des fluides.
• thêta. Lettre représentant généralement un angle ou bien la température en thermodynamique.
• iota. Peu utilisé.
• kappa. Représente une constante dans l’équation d’Einstein de la relativité générale.
• lambda. représente toujours une Longueur d’onde ou une conductivité thermique en thermodynamique.
• mu. Permittivité magnétique en électromagnétisme ou viscosité dynamique en mécanique des fluides.
• nu. Fréquence d’une onde ou viscosité cinématique en mécanique des fluides.
• ksi. Fonction d’onde.
•  omicron. Peu utilisé
• pi. Utilisée comme la constante connue.
• rho. Résistivité électrique ou masse volumique en mécanique.
• sigma. Conductivité électrique.
• tau. Constante de temps d’un système.
•  upsilon. Peu utilisé.
• phi. Flux magnétique ou déphasage d’une onde.
• khi. Coefficient de compressibilité en thermodynamique.
•  Psi. Flux électrique en électromagnétisme et fonction d’onde en mécanique quantique.
• oméga. Pulsation d’une onde qui se propage.